Punto de Vista Lagrangiano y Euleriano

Las descripciones lagrangiana y euleriana son dos formas de ver la mecánica de medios continuos.

La descripción lagrangiana consiste en hacer un seguimiento de las partículas materiales, mientras que la descripción euleriana consiste en medir lo que pasa en puntos fijos del espacio. Ambas descripciones son equivalentes y a veces una es más cómoda de usar que la otra.

El enfoque de las masas de control es el enfoque lagrangiano, mientras que el enfoque de los volúmenes de control es el euleriano. Estos enfoques sirven para todo.

Punto de Vista lagrangiano

Supongamos que tenemos un conjunto de objetos materiales (como un continuo de puntos materiales o los clientes de un supermercado). A cada uno le asignamos una etiqueta mental. Esta etiqueta será la posición (en cierto instante de referencia) de cada objeto material,X₀. A la posición del objeto X₀ la llamaremos X(t,X₀). Cada objeto material tendrá unas propiedades (tales como su temperatura o los artículos que porta en la cesta de la compra) que pueden variar con el tiempo t y que denotaremos mediante el símbolo C_l(t,X₀).

Trayectoria de una partícula como función de su posición inicial y del tiempo.

Punto de Vista Euleriano

Ahora vamos a estudiar no los objetos materiales, sino los puntos x del espacio. Cada uno de estos puntos puede estar ocupado por un objeto material con ciertas propiedades y podemos describir, por lo tanto, las propiedades presentes en el punto del espacio x en el instante t mediante el símbolo C_e(t,x).

Relación entre ambas descripciones

Al menos de forma simbólica, podemos establecer rápidamente de qué forma están relacionadas las descripciones lagrangiana y euleriana. Supongamos que la partícula X₀ ocupa en el instante t la posición X(t,X₀) = x. Las propiedades de la partícula según la descripción lagrangiana son las propiedades del punto según la descripción euleriana:
C_l(t,X₀) = C_e(t,X(t,X₀)).

De igual manera que la trayectoria de las partículas X(t,X₀)nos sirve como una aplicación que pasa del espacio de las etiquetas asociadas a los puntos materiales (es decir, sus posiciones iniciales X₀) al espacio de los propios puntos x, podemos hacer la transformación inversa, al menos si no hay fenómenos singulares tales como el colapso de dos partículas materiales y su unión en una única partícula. Formalmente y con cierto abuso de notación, podemos escribir esta transformación inversa así:
X⁻¹(t,x) = X₀.
De esta manera, establecemos la equivalencia entre las dos descripciones:
C_e(t,x) = C_l(t,X⁻¹(t,x)).

Las transformaciones directa e inversa, es decir, las trayectorias de las partículas en función del tiempo o las posiciones iniciales de las partículas en función de sus posiciones finales en cierto instante, no suelen ser conocidas de antemano, sino que suelen ser parte de la solución del problema.

Muchos modelos físicos son relativamente fáciles de plantear con una descripción y difíciles de plantear con la otra. Por ejemplo, los modelos de mecánica de fluidos suelen prestarse muy bien a la descripción euleriana, mientras que los de grandes deformaciones de cuerpos sólidos suelen ser más cómodos de tratar con una descripción lagrangiana.